二进制、八进制、十进制、十六进制相互转换

一、进制基本概念

• 二进制 (Bin) ：逢二进一，数码：0, 1
• 八进制 (Oct) ：逢八进一，数码：0-7
• 十进制 (Dec) ：逢十进一，数码：0-9
• 十六进制 (Hex) ：逢十六进一，数码：0-9, A-F（A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15）

二进制一般0b开头，八进制一般数字0开头，十六进制一般0x开头。

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二、其他进制 → 十进制（按权相加法）

其他进制转10进制，采用按权相加法，公式如下：

公式： 每位数字 × 进制^位权 后求和

• 位权：从右向左，最低位为 0，依次递增。

我们主要来讲整数的转化：

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1. 二进制 → 十进制

从右往左，位权从0依次递增，比如：

0b10 = 0×2⁰ + 1×2¹ = 0 + 2 = 2
0b11 = 1×2⁰ + 1×2¹ = 1 + 2 = 3
0b100 = 0×2⁰ + 0×2¹ + 1×2²= 0 + 0 + 4 = 4
0b101 = 1×2⁰ + 0×2¹ + 0×2² = 1 + 0 + 4 = 5
...

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2. 八进制 → 十进制

八进制方法同二进制， 只不过进制变8，即位权的基数变为8

010 = 0×8⁰ + 1×8¹ = 0 + 8 = 8
011 = 1×8⁰ + 1×8¹ = 1 + 8 = 9
...
017 = 7×8⁰ + 1×8¹ = 7 + 8 = 15
020 = 0×8⁰ + 2×8¹ = 0 + 16 = 16
021 = 1×8⁰ + 2×8¹ = 1 + 16 = 17
...

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3. 十六进制 → 十进制

十六进制同理：

0x10 = 0×16⁰ + 1×16¹ = 0 + 16 = 16
0x11 = 1×16⁰ + 1×16¹ = 1 + 16 = 17
...
0x19 = 9×16⁰ + 1×16¹ = 9 + 16 = 25 
0x1A = 10×16⁰ + 1×16¹ = 10 + 16 = 26
...
0x1F = 15×16⁰ + 1×16¹ = 15 + 16 = 31
0x20 = 0×16⁰ + 2×16¹ = 0 + 32 = 32
...

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扩展：带小数转化

小数点左侧从右向左为 0 开始递增；右侧从左向右为 -1 开始递减。

1. 二进制 → 十进制
   (101.101)₂ = 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 1×2⁻¹ + 0×2⁻² + 1×2⁻³ = 5.625
2. 八进制 → 十进制 (67.35)₈ = 6×8¹ + 7×8⁰ + 3×8⁻¹ + 5×8⁻² = 55.453125
3. 十六进制 → 十进制 (1A.08)₁₆ = 1×16¹ + 10×16⁰ + 0×16⁻¹ + 8×16⁻² = 26.03125

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三、十进制 → 其他进制

根据前面的例子我们看到，十进制每加1，其他进制就会在数值末位加1， 比如：2 = 0b10, 3 = 0b11。当数字大于1，就需要进位，所以4 = 0b100。

那么如何从10进制转其他进制呢，我们可以采用除基取余法

1. 十进制 → 二进制

不断除以 2，记录余数（逆序读数）。
例：10 → 0b1010

10 ÷ 2 = 5 ··· 0 ↑  
5  ÷ 2 = 2 ··· 1 ↑  
2  ÷ 2 = 1 ··· 0 ↑  
1  ÷ 2 = 0 ··· 1 → 1010

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2. 十进制 → 八进制

不断除以 8，记录余数（逆序读数）。
例：1232 → 02320

1232 ÷ 8 = 154 ··· 0 ↑  
154  ÷ 8 = 19  ··· 2 ↑  
19   ÷ 8 = 2   ··· 3 ↑  
2    ÷ 8 = 0   ··· 2 → 2320

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3. 十进制 → 十六进制

不断除以 16，记录余数（逆序读数）。
例：2770 → 0xAD2

2770 ÷ 16 = 173 ··· 2 ↑  
173  ÷ 16 = 10  ··· 13 ↑  
10   ÷ 16 = 0   ··· 10 → 0xAD2

扩展： 小数部分 ———— 乘基取整法（顺序）

• 十进制 → 二进制：不断乘以 2，取整数部分（顺序读数）。
  例：0.125 → (0.001)₂

  0.125 × 2 = 0.25 → 取整 0  
  0.25  × 2 = 0.5  → 取整 0  
  0.5   × 2 = 1.0  → 取整 1

注意：整数和小数部分需分开转换，读数方向相反。

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四、0~16对照表

十进制 (Decimal)	二进制 (Binary)	八进制 (Octal)	十六进制 (Hexadecimal)
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

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五、编程实现（JavaScript示例）

// 十进制 → 其他进制
let num = 110;
console.log(num.toString(2));   // 二进制: "1101110"
console.log(num.toString(8));   // 八进制: "156"
console.log(num.toString(16));  // 十六进制: "6e"

// 其他进制 → 十进制
console.log(parseInt("101010", 2));  // 42
console.log(parseInt("67", 8));      // 55
console.log(parseInt("1A", 16));     // 26